『トイレのフタを閉めてから水を流してください』

“flush”には次の意味があります。 『ランダムハウス英和大辞典（第2版）』には、そのものズバリ「トイレの水を流す」という例文が出ています。

〈場所に〉(掃除などのために水を)どっと流す,ざーっとかける;〈物を〉どっと水などをかけて流す 例文：flush the toilet トイレの水を流す

“lid”は「フタ」という意味です。 トイレでしか使わない案内サインですので、“the lid”とするだけで「トイレのフタ」のことだと分かりますし、“flush”だけで「トイレの水を流すのだ」と分かります。

後半は“before flushing”にしても大丈夫です。誰がということを言及しないで「流す」ということだけ伝えられる表現です。

宿泊業界や飲食業界ではノロウイスルを警戒して、以前から「フタをしてから水を流して」というサインを掲示している施設が多かったと思います。最近の新型コロナウイルスの出現で、前述の施設に限らずこの案内サインを掲示する場所が増えた気がします。

フタが付いているトイレ用の案内サインです。 ホテル、旅館、レストラン、バスなどの乗り物、駅、バスターミナル、デパート、スーパー、劇場、映画館…、さまざまな場所のトイレでご活用いただけます。